$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = $

मान लीजिए $I(x)=\int\frac{3dx}{(4x+6)(\sqrt{4x^{2}+8x+3})}$ और $I(0)=\frac{\sqrt{3}}{4}+20$ है। यदि $I(\frac{1}{2})=\frac{a\sqrt{2}}{b}+c$, जहाँ $a, b, c \in N$ और $gcd(a,b)=1$, तो $a+b+c$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int {\frac{{\csc^2 x}}{{{{\left( {\csc x + \cot x} \right)}^{\frac{9}{2}}}}}\,dx} = {\left( {\csc x - \cot x} \right)^{\frac{7}{2}}}\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{{{{\left( {\csc x - \cot x} \right)}^2}}}{{11}}} \right) + C$ (जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है और $\alpha \in N$),तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\beta(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$,जहाँ $m, n > 0$ है। यदि $\int_0^1 (1-x^{10})^{20} dx = a \times \beta(b, c)$ है,तो $100(a+b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int \frac{dx}{2+\cos x} = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

यदि $\int \frac{dx}{(x^2+9) \sqrt{x^2+16}} = \frac{1}{3 \sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1} \left( K \frac{x}{\sqrt{16+x^2}} \right) + c$ है, तो $K=$