int {cos (log_e x)} , dx का मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \cos (\log_e x) \, dx$.खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos (\log_e x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin

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$\frac{1}{2}x\{ \cos (\log_e x) + \sin (\log_e x)\} + C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \cos (\log_e x) \, dx$.खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos (\log_e x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin (\log_e x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।$I = x \cos (\log_e x) - \int x \cdot (-\sin (\log_e x)) \cdot \frac{1}{x} \, dx$$I = x \cos (\log_e x) + \int \sin (\log_e x) \, dx$अब,$\int \sin (\log_e x) \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \sin (\log_e x)$ और $dv = dx$ लें।$I = x \cos (\log_e x) + [x \sin (\log_e x) - \int x \cdot \cos (\log_e x) \cdot \frac{1}{x} \, dx]$$I = x \cos (\log_e x) + x \sin (\log_e x) - I$$2I = x [\cos (\log_e x) + \sin (\log_e x)]$$I = \frac{1}{2} x [\cos (\log_e x) + \sin (\log_e x)] + C$.

$\int {\cos (\log_e x)} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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