int_0^1 frac{e^x(x - 1)}{(x + 1)^3} , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^1 \frac{e^x(x - 1)}{(x + 1)^3} \, dx$. अंश को $(x + 1 - 2)$ के रूप में लिखा जा सकता है। $I = \int_0^1 \frac{e^x(x + 1 - 2)}{(x +

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$\frac{e}{4} - 1$

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(B) माना $I = \int_0^1 \frac{e^x(x - 1)}{(x + 1)^3} \, dx$. अंश को $(x + 1 - 2)$ के रूप में लिखा जा सकता है। $I = \int_0^1 \frac{e^x(x + 1 - 2)}{(x + 1)^3} \, dx = \int_0^1 \frac{e^x}{(x + 1)^2} \, dx - 2 \int_0^1 \frac{e^x}{(x + 1)^3} \, dx$. हम जानते हैं कि $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$. यदि हम $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$ लें,तो $f'(x) = -\frac{2}{(x + 1)^3}$ होगा। अतः,$\int e^x \left( \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3} \right) \, dx = \frac{e^x}{(x + 1)^2} + C$. निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\left[ \frac{e^x}{(x + 1)^2} \right]_0^1 = \frac{e^1}{(1 + 1)^2} - \frac{e^0}{(0 + 1)^2} = \frac{e}{4} - 1$.

$\int_0^1 \frac{e^x(x - 1)}{(x + 1)^3} \, dx = $

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