int_{0}^{pi /2} { x - [sin x] } ,dx का मान ज् | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकलन $I = \int_{0}^{\pi /2} \{ x - [\sin x] \} \,dx$ है। चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$0 \le \sin x < 1$ होता है,इसलिए $[\sin x] = 0

Vedclass · Accepted Answer

इनमें से कोई नहीं

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समाकलन $I = \int_{0}^{\pi /2} \{ x - [\sin x] \} \,dx$ है। चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$0 \le \sin x अतः,$I = \int_{0}^{\pi /2} \{ x \} \,dx$ हो जाता है। अंतराल $[0, \pi/2]$ में पूर्णांक $1$ स्थित है,इसलिए समाकलन को विभाजित करने पर: $I = \int_{0}^{1} x \,dx + \int_{1}^{\pi /2} (x - 1) \,dx$। प्रथम भाग: $\int_{0}^{1} x \,dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$। द्वितीय भाग: $\int_{1}^{\pi /2} (x - 1) \,dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{\pi /2} = (\frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{2}) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}$। कुल योग: $I = \frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{2} + 1$। यह मान विकल्पों में नहीं है,अतः सही विकल्प $D$ है।

$\int_{0}^{\pi /2} \{ x - [\sin x] \} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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