$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2n} }} + \dots + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + (n - 1)n} }}} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}} = $

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,मान लीजिए $y_n = \frac{1}{n} ((n+1)(n+2) \dots (n+n))^{\frac{1}{n}}$ है। $x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $[x]$ वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} y_n = L$ है,तो $[L]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n^2}{(n+1)^3}+\frac{n^2}{(n+2)^3}+\frac{n^2}{(n+3)^3}+\ldots+\frac{n^2}{(n+4n)^3}\right]=$

मान लीजिए $S = \frac{2}{1} {}^{n}C_{0} + \frac{2^{2}}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{2^{3}}{3} {}^{n}C_{2} + \ldots + \frac{2^{n+1}}{n+1} {}^{n}C_{n}$ है। तो, $S$ का मान क्या है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{n}}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।