प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए,मान लीजिए | vedclass

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Question

(D) हमारे पास $y_n = \frac{1}{n} \left( \prod_{r=1}^n (n+r) \right)^{\frac{1}{n}} = \left( \prod_{r=1}^n (1 + \frac{r}{n}) \right)^{\frac{1}{n}}$ है।द

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$1$

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(D) हमारे पास $y_n = \frac{1}{n} \left( \prod_{r=1}^n (n+r) \right)^{\frac{1}{n}} = \left( \prod_{r=1}^n (1 + \frac{r}{n}) \right)^{\frac{1}{n}}$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln(y_n) = \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \ln(1 + \frac{r}{n})$.जैसे ही $n \rightarrow \infty$,यह एक रीमान योग बन जाता है:$\lim_{n \rightarrow \infty} \ln(y_n) = \int_0^1 \ln(1+x) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$\int_0^1 \ln(1+x) dx = 2 \ln 2 - 1 = \ln(4/e)$.अतः,$\ln(L) = \ln(4/e)$,जिसका अर्थ है $L = 4/e$.चूंकि $e \approx 2.718$,$L = 4/2.718 \approx 1.47$.इसलिए,$[L] = [1.47] = 1$.

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \ldots \left( {3n} \right)}}{{{n^{2n}}}}} \right)^{\frac{1}{n}}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\ldots+\frac{1}{n} \sec ^2 1\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\sin \frac{3 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left\{ \sec ^{2} \frac{\pi}{4 n} + \sec ^{2} \frac{2 \pi}{4 n} + \ldots + \sec ^{2} \frac{n \pi}{4 n} \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

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