int_0^infty frac{x^3 , dx}{(x^2 + 4)^2} = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{x^3 \, dx}{(x^2 + 4)^2}$.$t = x^2$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \, dx = \fra

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$\infty$

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(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{x^3 \, dx}{(x^2 + 4)^2}$.$t = x^2$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{dt}{2}$.जब $x = 0$,तब $t = 0$. जब $x 	o \infty$,तब $t 	o \infty$.$I = \int_0^\infty \frac{t \cdot (x \, dx)}{(t + 4)^2} = \int_0^\infty \frac{t \cdot \frac{dt}{2}}{(t + 4)^2} = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{t}{(t + 4)^2} \, dt$.हम समाकल्य को $\frac{t}{(t + 4)^2} = \frac{t + 4 - 4}{(t + 4)^2} = \frac{1}{t + 4} - \frac{4}{(t + 4)^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।$I = \frac{1}{2} \left[ \int_0^\infty \frac{1}{t + 4} \, dt - \int_0^\infty \frac{4}{(t + 4)^2} \, dt ight]$.$I = \frac{1}{2} \left[ \ln(t + 4) + \frac{4}{t + 4} ight]_0^\infty$.जैसे $t 	o \infty$,वैसे $\ln(t + 4) 	o \infty$ और $\frac{4}{t + 4} 	o 0$.अतः,समाकलन $\infty$ की ओर अग्रसर है।

$\int_0^\infty \frac{x^3 \, dx}{(x^2 + 4)^2} = $

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निश्चित समाकलन $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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