int_{0}^{infty} frac{x , dx}{(1 + x)(1 + x^2) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac

Vedclass · Accepted Answer

$\pi / 4$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} \, dx$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 + x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}$. અચળાંકો શોધતા,આપણને $A = -1/2$,$B = 1/2$,અને $C = 1/2$ મળે છે. તેથી,$I = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{-1/2}{1 + x} + \frac{1/2 x + 1/2}{1 + x^2} ight) \, dx$. $I = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{1 + x^2} \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$. સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1 + x) + \frac{1}{4} \ln(1 + x^2) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$. $I = \left[ \frac{1}{4} \ln\left( \frac{1 + x^2}{(1 + x)^2} ight) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$. જ્યારે $x 	o \infty$,ત્યારે $\frac{1 + x^2}{(1 + x)^2} 	o 1$,તેથી $\ln(1) = 0$. $I = (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (0 + 0) = \frac{\pi}{4}$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \, dx}{(1 + x)(1 + x^2)} = $

Similar Questions

$\int_{0}^{1} e^{x e^{x}} (1 + x e^{x}) dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int \limits_{-\log _{e} 2}^{\log _e 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin 2 x(\tan ^5 x+\cot ^5 x)} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ નું મૂલ્ય (મૂલ્યો) છે

જો $\int_0^{k} \frac{d x}{2+8 x^2}=\frac{\pi}{16}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module