intlimits_0^pi {frac{{sin left( {n + frac{1}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $2\sin \frac{x}{2} \left( {\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx} \right) = \sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^n 2\sin \fr

Vedclass · Accepted Answer

$\pi $

Vedclass · Answer

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $2\sin \frac{x}{2} \left( {\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx} \right) = \sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^n 2\sin \frac{x}{2} \cos kx$. $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $2\sin \frac{x}{2} \cos kx = \sin \left( k + \frac{1}{2} \right)x - \sin \left( k - \frac{1}{2} \right)x$. $k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી મળે છે: $\sin \frac{x}{2} + \left( \sin \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right) + \dots + \left( \sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x - \sin \left( n - \frac{1}{2} \right)x \right) = \sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x$. તેથી,$\frac{\sin \left( n + \frac{1}{2} \right)x}{\sin \frac{x}{2}} = 1 + 2\cos x + 2\cos 2x + \dots + 2\cos nx$. હવે,$0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^\pi \left( 1 + 2\sum_{k=1}^n \cos kx \right) dx = \left[ x + 2\sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}{k} \right]_0^\pi$. બધા પૂર્ણાંક $k$ માટે $\sin(k\pi) = 0$ હોવાથી,સંકલનનું મૂલ્ય $\pi - 0 = \pi$ થાય છે.

$\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)x}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \,dx$,$(n \in N)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x=$

સંકલન $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$ \int_{2}^{8} \frac{\sqrt{10-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{10-x}} d x $ ની કિંમત શોધો.

જો $x > 0$ માટે,$f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module