(x^2 + y^2)dy = xy dx. જો y(x_0) = e અને y(1) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2)dy = xy dx$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$x^2 dy + y^2 dy = xy dx$ મળે.$y = vx$ આદેશ લેતા,$dy = v dx + x dv$.$(x^2 + v^2 x^2

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3}e$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2)dy = xy dx$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$x^2 dy + y^2 dy = xy dx$ મળે.$y = vx$ આદેશ લેતા,$dy = v dx + x dv$.$(x^2 + v^2 x^2)(v dx + x dv) = x(vx) dx$.$x^2(1 + v^2)(v dx + x dv) = vx^2 dx$.$(1 + v^2)(v dx + x dv) = v dx$.$v dx + x dv + v^3 dx + v^2 x dv = v dx$.$x dv(1 + v^2) = -v^3 dx$.$\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$.$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$-\frac{1}{2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$.તેથી,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.$y(x_0) = e$ માટે,$-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$.$x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \sqrt{3}e$.

$(x^2 + y^2)dy = xy dx$. જો $y(x_0) = e$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $x_0$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$(x^2+y^2) dx = 2xy dy$ નો ઉકેલ શોધો:

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $\left(x^{2}+x y\right) d y=\left(x^{2}+y^{2}\right) d x$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y-3}{2y-x+3}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module