અનંત શ્રેણી 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + dots નો સ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ છ

Vedclass · Accepted Answer

$(1 + x) / (1 - x)^3$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ છે,જ્યાં $|x| બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ મળે. $x$ વડે ગુણતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ મળે. ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ મળે. આમ,શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{1+x}{(1-x)^3}$ થાય.

અનંત શ્રેણી $1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Similar Questions

એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $3$ છે. તેના પદોના વર્ગથી બનતી શ્રેણીનો સરવાળો પણ $3$ છે. તો પ્રથમ શ્રેણી કઈ હશે?

ભૂમિતિ શ્રેણી $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}, \frac{1}{2 - \sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \dots$ ના અનંત પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $9 - 3 + 1 - \frac{1}{3} + \dots$ નો અનંત સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $a, x$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $|a| < 1, |x| < 1$ હોય, તો $1 + (1+a)x + (1+a+a^2)x^2 + \dots \infty$ ની કિંમત શું થાય?

શ્રેણી $0.7, 0.77, 0.777, \dots$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module