જો a, x વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને |a|

Question

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} (1+a+a^2+\dots+a^{n-1})x^{n-1}$ છે.ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ, $1+a+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{1-a^n

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{(1-x)(1-ax)}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} (1+a+a^2+\dots+a^{n-1})x^{n-1}$ છે.ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ, $1+a+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{1-a^n}{1-a}$.તેથી, $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-a^n}{1-a} x^{n-1} = \frac{1}{1-a} \sum_{n=1}^{\infty} (x^{n-1} - a^n x^{n-1})$.$S = \frac{1}{1-a} \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} - a \sum_{n=1}^{\infty} (ax)^{n-1} \right)$.અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{a}{1-ax} \right)$.$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{(1-ax) - a(1-x)}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-ax-a+ax}{(1-x)(1-ax)} \right)$.$S = \frac{1}{1-a} \left( \frac{1-a}{(1-x)(1-ax)} \right) = \frac{1}{(1-x)(1-ax)}$.

જો $a, x$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $|a| < 1, |x| < 1$ હોય, તો $1 + (1+a)x + (1+a+a^2)x^2 + \dots \infty$ ની કિંમત શું થાય?

Similar Questions

$(-\pi, \pi)$ માં $2^{1+|\cos x|+|\cos x|^2+\ldots} = 4$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

શ્રેણી $7, 77, 777, 7777, \ldots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

એક અનંત $G.P.$ ધ્યાનમાં લો જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. તેનો સરવાળો $4$ છે અને બીજું પદ $3/4$ છે,તો:

અનંત શ્રેણી $1^2 + 2^2 x + 3^2 x^2 + \dots$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module