1 cdot 3 cdot 5 + 3 cdot 5 cdot 7 + 5 cdot 7 | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = (2r-1)(2r+1)(2r+3)$ है।$T_r = (4r^2 - 1)(2r+3) = 8r^3 + 12r^2 - 2r - 3$.योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r$ ज्ञात करने के ल

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$n(2n^3 + 8n^2 + 7n - 2)$

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(A) श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = (2r-1)(2r+1)(2r+3)$ है।$T_r = (4r^2 - 1)(2r+3) = 8r^3 + 12r^2 - 2r - 3$.योग $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r$ ज्ञात करने के लिए,हम मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हैं:$S_n = 8 \sum r^3 + 12 \sum r^2 - 2 \sum r - \sum 3$.$S_n = 8 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - 3n$.$S_n = 2n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1) - n(n+1) - 3n$.$S_n = 2n^4 + 8n^3 + 7n^2 - 2n = n(2n^3 + 8n^2 + 7n - 2)$.

$1 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 + \dots$ श्रेणी का $n$ पदों तक का योग ज्ञात कीजिए।

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यदि $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ है,तो $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \dots$

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