$6$ ભિન્ન નવલકથાઓ અને $3$ ભિન્ન શબ્દકોશમાંથી $4$ નવલકથાઓ અને $1$ શબ્દકોશ પસંદ કરીને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી શબ્દકોશ હંમેશા વચ્ચે રહે. આવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા કેટલી થાય?

$n \geq 2$ માટે,ધારો કે $S_n$ એ $\{1, 2, \ldots, n\}$ ના એવા તમામ ઉપગણોનો સમૂહ છે જેમાં કોઈ પણ બે ઘટકો ક્રમિક ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે,$\{1, 3, 5\} \in S_6$,પરંતુ $\{1, 2, 4\} \notin S_6$. તો $n(S_5)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

એક રિલે રેસમાં પાંચ ટીમો $A, B, C, D$ અને $E$ છે. $A, B$ અને $C$ પ્રથમ ત્રણ ક્રમે આવે (કોઈપણ ક્રમમાં) તેની સંભાવના કેટલી છે? (ધારો કે તમામ ફિનિશિંગ ઓર્ડર સમાન રીતે શક્ય છે.)

$1, 2, 3$ અને $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલી (અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય છે) $4$ અંકની સંખ્યાઓ જે $15$ વડે વિભાજ્ય હોય,તેની સંખ્યા $............$ છે.

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$i.$ $n$ વસ્તુઓને $k$ પાત્રોમાં $(k \leq n)$ એવી રીતે મૂકવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પાત્ર ખાલી ન રહે,તે ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે.
$ii.$ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $k$ ધન પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે લખવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે.
$iii.$ $n$ વસ્તુઓને $k$ પાત્રોમાં એવી રીતે મૂકવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી ઓછામાં ઓછું એક પાત્ર ખાલી ન હોય,તે ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે.
$iv.$ ${}^nC_k - {}^{n-1}C_k = {}^{n-1}C_{k-1}$.

$10000$ થી નાની એવી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે જે $5$ વડે વિભાજ્ય હોય અને જેમાં કોઈ પણ અંકનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય?