$5$ लाल,$4$ नीली और $1$ हरी गेंद को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

$EDUCATION$ शब्द के अक्षरों को कितनी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि निम्नलिखित तीनों शर्तें पूरी हों?
- स्वर समान क्रम में हों $(E, U, A, I, O)$.
- व्यंजन समान क्रम में हों $(D, C, T, N)$.
- कोई भी दो व्यंजन एक-दूसरे के बगल में न हों।

$7!$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$ एक $4$-तत्व का क्रमचय है जहाँ $b_{i} \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ है,$1 \leq i \leq 4$ के लिए और $i \neq j$ के लिए $b_{i} \neq b_{j}$ है,ताकि या तो $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ क्रमागत पूर्णांक हों या $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ क्रमागत पूर्णांक हों। ऐसे क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए।

एक कमरे में $9$ कुर्सियाँ हैं और $6$ लोगों को बैठाना है। इन कुर्सियों में से एक विशेष कुर्सी एक विशेष अतिथि के लिए आरक्षित है। इन लोगों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

$1000$ से कम ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं,जिनमें कोई भी दो अंक दोहराए नहीं गए हैं?