$MOBILE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं,जिसमें व्यंजन हमेशा विषम स्थानों पर हों?

अंकों $3, 5, 6, 7, 8$ का उपयोग करके,बिना पुनरावृत्ति के $7000$ से बड़ी कितनी पूर्णांक संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

$ARRANGE$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने भिन्न शब्द बनाए जा सकते हैं?

यदि ${}^n P_r = {}^{(n-1)} P_r + x \cdot {}^{(n-1)} P_{(r-1)}$,$\forall n, r \in N$ और $r \leq n$ है,तो $x =$

आठ कुर्सियों को $1$ से $8$ तक क्रमांकित किया गया है। दो महिलाएं और तीन पुरुष प्रत्येक एक कुर्सी पर बैठना चाहते हैं। पहले महिलाएं $1$ से $4$ तक चिह्नित कुर्सियों में से कुर्सियां चुनती हैं,और फिर पुरुष शेष कुर्सियों में से कुर्सियां चुनते हैं। संभावित व्यवस्थाओं की संख्या है

जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो,तो $1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $3$ अंकीय विषम संख्याओं की संख्या क्या है?