$12$ गेंदों को दो दोस्तों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है कि एक को $8$ गेंदें और दूसरे को $4$ गेंदें मिलें?

यदि एक प्रश्न पत्र में $11$ प्रश्न हैं जो दो खंडों $I$ और $II$ में विभाजित हैं। खंड $I$ में $6$ प्रश्न हैं और खंड $II$ में $5$ प्रश्न हैं,तो एक छात्र $6$ प्रश्नों का चयन कितने अलग-अलग तरीकों से कर सकता है,यदि उसे प्रत्येक खंड से कम से कम $2$ प्रश्न लेने हैं?

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3 = $

$16$ समान घन,जिनमें से $11$ नीले और शेष लाल हैं,को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है कि किन्हीं भी दो लाल घनों के बीच कम से कम $2$ नीले घन हों,तो तरीकों की संख्या है

${ }^{49} C_3+{ }^{48} C_3+{ }^{47} C_3+{ }^{46} C_3+{ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4$ का मान है

यदि $n$ वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाता है,तो इनमें से तीन वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि कोई भी दो वस्तुएं एक-दूसरे के बगल में न हों: