$2 \le r \le n$ માટે,પદાવલિ $\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ કોના બરાબર છે?

$x^4$ અને તેનાથી મોટી ઘાતને અવગણીને, $\sqrt[3]{x^2+64}-\sqrt[3]{x^2+27}$ ની આશરે કિંમત શોધો.

ધારો કે $x$ એ $2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^n$ કિંમતો લે છે અને તેની આવૃત્તિઓ અનુક્રમે ${}^nC_0, {}^nC_1, {}^nC_2, \ldots, {}^nC_n$ છે. જો આ માહિતીનો મધ્યક $\frac{728}{2^n}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

$(1+x)^{1000} + x(1+x)^{999} + x^2(1+x)^{998} + \ldots + x^{1000}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધો.

ધારો કે $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}$,$T_1=\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ અને $T_2=\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) $TRUE$ છે?
$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$
$(B)$ $T_1 \cap (0, \frac{1}{2024}) = \phi$,જ્યાં $\phi$ ખાલી ગણ દર્શાવે છે
$(C)$ $T_2 \cap (2024, \infty) \neq \phi$
$(D)$ કોઈપણ આપેલ $a, b \in Z$ માટે,$\cos(\pi(a+b \sqrt{2})) + i \sin(\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ જો અને તો જ જો $b=0$ હોય,જ્યાં $i=\sqrt{-1}$

$1 + (1 + x) + (1 + x)^2 + \dots + (1 + x)^n$ પદાવલિના વિસ્તરણમાં $x^k$ $(0 \le k \le n)$ નો સહગુણક શું છે?