$x$ ના કયા મૂલ્ય માટે સદિશો $\vec{a} = -3\hat{i} + x\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = x\hat{i} + 2x\hat{j} + \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોય અને $\vec{b}$ તથા $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi/2$ અને $\pi$ ની વચ્ચે હોય?

ધારો કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ બે એકમ સદિશો છે જેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે. જો $\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}$ અને $3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $[-1, 3]$ માં $\lambda$ ની કિંમતોની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $l_{1}, m_{1}, n_{1}; l_{2}, m_{2}, n_{2}; l_{3}, m_{3}, n_{3}$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓની દિકકોસાઇન હોય,તો સાબિત કરો કે જે રેખાની દિકકોસાઇન $l_{1}+l_{2}+l_{3}, m_{1}+m_{2}+m_{3}, n_{1}+n_{2}+n_{3}$ ના પ્રમાણમાં હોય,તે તેમની સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ થાય,તો $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય,તો બિંદુઓ $2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$ અને $3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}$ માંથી પસાર થતી રેખા અને બિંદુઓ $\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}$ અને $\vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ ને જોડતી રેખાનું છેદબિંદુ શોધો.

જો સદિશો $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,અને $\bar{c}=-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ એવા હોય કે જેથી $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ હોય,તો $\lambda=$