જો $l_{1}, m_{1}, n_{1}; l_{2}, m_{2}, n_{2}; l_{3}, m_{3}, n_{3}$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓની દિકકોસાઇન હોય,તો સાબિત કરો કે જે રેખાની દિકકોસાઇન $l_{1}+l_{2}+l_{3}, m_{1}+m_{2}+m_{3}, n_{1}+n_{2}+n_{3}$ ના પ્રમાણમાં હોય,તે તેમની સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.

(N/A) ધારો કે $\vec{a} = l_{1}\hat{i} + m_{1}\hat{j} + n_{1}\hat{k}$,$\vec{b} = l_{2}\hat{i} + m_{2}\hat{j} + n_{2}\hat{k}$,અને $\vec{c} = l_{3}\hat{i} + m_{3}\hat{j} + n_{3}\hat{k}$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓની દિશામાં એકમ સદિશો છે.
ધારો કે $\vec{d} = (l_{1}+l_{2}+l_{3})\hat{i} + (m_{1}+m_{2}+m_{3})\hat{j} + (n_{1}+n_{2}+n_{3})\hat{k} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $\vec{d}$ અને અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ વચ્ચેના ખૂણા છે.
તો $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{a}| |\vec{d}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{d}|}$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,અને $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$.
આમ,$\cos \alpha = \frac{1}{|\vec{d}|}$.
તે જ રીતે,$\cos \beta = \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{1}{|\vec{d}|}$ અને $\cos \gamma = \frac{\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{1}{|\vec{d}|}$.
ચૂકી $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$. આમ,આ રેખા ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.