જો ચાર બિંદુઓ $2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}$,$\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$3\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{c}$ અને $\vec{a} - \lambda\vec{b} - 6\vec{c}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{OD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ અને $\vec{CB} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$ એ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $OBDC$ ના વિકર્ણો છે. જો $\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અન્ય સદિશ હોય, તો સદિશો $\vec{OA}, \vec{OB}$, અને $\vec{OC}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતર ફલકનું ઘનફળ (ઘન એકમોમાં) કેટલું થાય?

ધારોકે $\overline{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overline{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overline{c} = x\hat{i} + (x - 2)\hat{j} - \hat{k}$. જો સદિશ $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના સમતલમાં આવેલો હોય,તો $x = \dots$

ધારો કે $p, q, r$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે અને $b = p \times q$ છે. જો $a, b, c$ એ સમાંતરફલક (parallelepiped) ની ધાર દર્શાવતા હોય, તો $a$ અને $c$ આધાર ધરાવતા સમાંતરફલકની ઊંચાઈ કેટલી થાય?

કૉલમ $I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને કૉલમ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

કૉલમ $I$	કૉલમ $II$
$(A)$ સમીકરણ $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$ ના ઉકેલ(ઓ)	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ વિધેય $f(x) = [\frac{6x}{\pi}] \cos [\frac{3x}{\pi}]$ ના અસાતત્યના બિંદુઓ,જ્યાં $[y]$ એ $y$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે	$(q)$ $\frac{\pi}{4}$
$(C)$ સમાંતરબાજુ ષટ્ફલકનું ઘનફળ,જેના ધાર સદિશો $\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો,જ્યાં $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ એકમ સદિશો છે જે $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3}\vec{c}=\overrightarrow{0}$ નું પાલન કરે છે	$(s)$ $\frac{\pi}{2}$
	$(t)$ $\pi$

જો $\bar{p}, \bar{q}$ અને $\bar{r}$ શૂન્યતર,અસમતલીય સદિશો હોય,તો $[\bar{p}+\bar{q}-\bar{r} \quad \bar{p}-\bar{q} \quad \bar{q}-\bar{r}] = \_\_\_\_$