यदि a, b, और c समतलीय इकाई सदिश हैं,तो अदिश त | vedclass

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Question

(A) अदिश त्रिक गुणनफल को $[x, y, z] = x \cdot (y 	imes z)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।यह दिया गया है कि $a, b,$ और $c$ समतलीय सदिश हैं,इसलिए उन

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$0$

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(A) अदिश त्रिक गुणनफल को $[x, y, z] = x \cdot (y 	imes z)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।यह दिया गया है कि $a, b,$ और $c$ समतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = a \cdot (b 	imes c) = 0$ होता है।हमें $[2a - b, 2b - c, 2c - a]$ का मान ज्ञात करना है।अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार विस्तारित कर सकते हैं:$[2a - b, 2b - c, 2c - a] = (2a - b) \cdot ((2b - c) 	imes (2c - a))$.सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल $(2b - c) 	imes (2c - a)$ की गणना करें:$(2b - c) 	imes (2c - a) = 4(b 	imes c) - 2(b 	imes a) - 2(c 	imes c) + (c 	imes a)$.चूंकि $c 	imes c = 0$,यह $4(b 	imes c) + 2(a 	imes b) + (c 	imes a)$ में सरल हो जाता है।अब,$(2a - b)$ के साथ डॉट गुणनफल लें:$(2a - b) \cdot [4(b 	imes c) + 2(a 	imes b) + (c 	imes a)] = 8[a, b, c] + 4[a, a, b] + 2[a, c, a] - 4[b, b, c] - 2[b, a, b] - [b, c, a]$.चूंकि किसी भी अदिश त्रिक गुणनफल में दो समान सदिश होने पर उसका मान $0$ होता है (जैसे,$[a, a, b] = 0$),व्यंजक सरल होकर निम्न प्राप्त होता है:$8[a, b, c] - [b, c, a]$.चूंकि $[a, b, c] = [b, c, a]$,व्यंजक $8[a, b, c] - [a, b, c] = 7[a, b, c]$ बन जाता है।यह दिया गया है कि $a, b,$ और $c$ समतलीय हैं,इसलिए $[a, b, c] = 0$ है।अतः,$7 	imes 0 = 0$।

यदि $a, b,$ और $c$ समतलीय इकाई सदिश हैं,तो अदिश त्रिक गुणनफल $[2a - b, 2b - c, 2c - a]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda\hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}$ समतलीय सदिश हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$i + aj + k$,$j + ak$ और $ai + k$ सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होने के लिए $a$ का मान क्या होगा?

यदि $a=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ है, तो $(a \times \hat{i}) \cdot(\hat{i}+\hat{j})+(a \times \hat{j}) \cdot(\hat{j}+\hat{k})+(a \times \hat{k}) \cdot(\hat{k}+\hat{i})=$

यदि $2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$, $-12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$, $-\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ चार समतलीय बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं, तो $\lambda=$

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