यदि एक गुणोत्तर श्रेणी के p^{th},q^{th} और r^ | vedclass

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Question

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है। तब पद इस प्रकार हैं:$a = AR^{p-1}$,$b = AR^{q-1}$,$c = AR^{r-1}$.दोनों पक्षों का लघुग

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$\frac{\pi}{2}$

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(D) माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है। तब पद इस प्रकार हैं:$a = AR^{p-1}$,$b = AR^{q-1}$,$c = AR^{r-1}$.दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:$\log a = \log A + (p-1)\log R$$\log b = \log A + (q-1)\log R$$\log c = \log A + (r-1)\log R$अब,अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q)$ पर विचार करें।$\log a$,$\log b$ और $\log c$ के मान रखने पर:$\vec{u} \cdot \vec{v} = [\log A + (p-1)\log R](q-r) + [\log A + (q-1)\log R](r-p) + [\log A + (r-1)\log R](p-q)$$= \log A(q-r+r-p+p-q) + \log R[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$$= \log A(0) + \log R[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$$= 0 + \log R(0) = 0$.चूंकि अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं।अतः,उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

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