पासा फेंकने के खेल में,सम संख्या वाले प्रयास में $1$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $S$ एक यादृच्छिक प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि है और $P$ एक प्रायिकता फलन है जो $S$ के घात समुच्चय पर परिभाषित है। यादृच्छिक प्रयोग की दो घटनाओं $A$ और $B$ को स्वतंत्र कहा जाता है यदि

यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(A) > 0.5$,$P(B) > 0.5$,$P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{25}$,और $P(\bar{A} \cap B) = \frac{8}{25}$,तो $P(A \cap B)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A, B$ और $C$ तीन स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(A)=P(B)=P(C)=P$, तो $P$ ($A, B$ और $C$ में से कम से कम दो घटनाएँ घटित हों) बराबर है

एक संख्या $n$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ एक पूर्णांक है?

यदि एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे के दो बार फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो सभी $x \in R$ के लिए $x^{2}+\alpha x+\beta > 0$ होने की प्रायिकता क्या है?