બિંદુ (3, 1, -1) થી frac{2}{sqrt{3}} અંતરે આવ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) સમતલો $P_1: x + 2y + 3z - 2 = 0$ અને $P_2: x - y + z - 3 = 0$ ની છેદિકામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં

Vedclass · Accepted Answer

$5x - 11y + z = 17$

Vedclass · Answer

(A) સમતલો $P_1: x + 2y + 3z - 2 = 0$ અને $P_2: x - y + z - 3 = 0$ ની છેદિકામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.$(x + 2y + 3z - 2) + \lambda(x - y + z - 3) = 0$$(1 + \lambda)x + (2 - \lambda)y + (3 + \lambda)z - (2 + 3\lambda) = 0$આ સમતલનું બિંદુ $(3, 1, -1)$ થી અંતર $\frac{2}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે.અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:$\frac{|(1 + \lambda)(3) + (2 - \lambda)(1) + (3 + \lambda)(-1) - (2 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + \lambda)^2 + (2 - \lambda)^2 + (3 + \lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$|3 + 3\lambda + 2 - \lambda - 3 - \lambda - 2 - 3\lambda| = | -2\lambda |$છેદ: $\sqrt{1 + 2\lambda + \lambda^2 + 4 - 4\lambda + \lambda^2 + 9 + 6\lambda + \lambda^2} = \sqrt{3\lambda^2 + 4\lambda + 14}$તેથી,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2 + 4\lambda + 14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2 + 4\lambda + 14} = \frac{4}{3}$$3\lambda^2 = 3\lambda^2 + 4\lambda + 14$$4\lambda = -14 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{2}$$\lambda = -\frac{7}{2}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:$(1 - \frac{7}{2})x + (2 + \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z - (2 - \frac{21}{2}) = 0$$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$$-5x + 11y - z + 17 = 0 \Rightarrow 5x - 11y + z = 17$.

બિંદુ $(3, 1, -1)$ થી $\frac{2}{\sqrt{3}}$ અંતરે આવેલ અને સમતલો $x + 2y + 3z = 2$ અને $x - y + z = 3$ ની છેદિકામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

Similar Questions

$(1, 1, 1)$ અને $(2, 2, 2)$ ને જોડતી રેખા $x + y + z = 9$ સમતલને જે બિંદુએ છેદે છે તેના યામ શોધો.

રેખા $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ અને સમતલ $\vec{r} \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

બિંદુ $2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = 9$ થી અંતર શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module