समतलों x + 2y + 3z = 2 और x - y + z = 3 के प् | vedclass

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Question

(A) समतलों $P_1: x + 2y + 3z - 2 = 0$ और $P_2: x - y + z - 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा

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$5x - 11y + z = 17$

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(A) समतलों $P_1: x + 2y + 3z - 2 = 0$ और $P_2: x - y + z - 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(x + 2y + 3z - 2) + \lambda(x - y + z - 3) = 0$$(1 + \lambda)x + (2 - \lambda)y + (3 + \lambda)z - (2 + 3\lambda) = 0$इस समतल की बिंदु $(3, 1, -1)$ से दूरी $\frac{2}{\sqrt{3}}$ दी गई है।दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ का उपयोग करते हुए:$\frac{|(1 + \lambda)(3) + (2 - \lambda)(1) + (3 + \lambda)(-1) - (2 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + \lambda)^2 + (2 - \lambda)^2 + (3 + \lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$|3 + 3\lambda + 2 - \lambda - 3 - \lambda - 2 - 3\lambda| = | -2\lambda |$हर: $\sqrt{1 + 2\lambda + \lambda^2 + 4 - 4\lambda + \lambda^2 + 9 + 6\lambda + \lambda^2} = \sqrt{3\lambda^2 + 4\lambda + 14}$अतः,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2 + 4\lambda + 14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2 + 4\lambda + 14} = \frac{4}{3}$$3\lambda^2 = 3\lambda^2 + 4\lambda + 14$$4\lambda = -14 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{2}$$\lambda = -\frac{7}{2}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:$(1 - \frac{7}{2})x + (2 + \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z - (2 - \frac{21}{2}) = 0$$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$$-5x + 11y - z + 17 = 0 \Rightarrow 5x - 11y + z = 17$.

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यदि रेखा $\bar{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$,समतल $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-2 \hat{j}-m \hat{k})=5$ के समांतर है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाओं $\frac{x - 1}{\alpha} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}, (\alpha \ne -1)$ और $x + y + z + 1 = 0 = 2x - y + z + 3$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,तो $\alpha$ का मान है

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