$x = ay + b$ और $z = cy + d$ समीकरणों द्वारा निरूपित रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) क्या हैं?

मान लीजिए $A$ और $B$ रेखा $L : \frac{x-6}{3} = \frac{y-7}{2} = \frac{z-7}{-2}$ पर दो अलग-अलग बिंदु हैं। $A$ और $B$ दोनों बिंदु $P(1, 2, 3)$ से रेखा $L$ पर खींचे गए लंब के पाद से $2\sqrt{17}$ की दूरी पर हैं। यदि $O$ मूल बिंदु है,तो $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ का मान ज्ञात कीजिए:

बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ तथा $\frac{x+2}{-3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{5}$ में से प्रत्येक पर लंब रेखा का समीकरण है

यदि रेखाएँ $x = ay + b, z = cy + d$ और $x = a'z + b', y = c'z + d'$ परस्पर लंब हैं,तो

रेखाएँ $\frac{1-x}{3} = \frac{7y-14}{2p} = \frac{z-3}{2}$ और $\frac{7-7x}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{6-z}{5}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं। तो,$p$ का मान . . . . . . है।

$P(5, 7, 3)$ से $A(9, 13, 15)$ और $B(12, 21, 10)$ को जोड़ने वाली रेखा पर डाले गए लंब का पाद ज्ञात कीजिए।