समतल $x - y + z = 1$ बिंदुओं $(0, 0, 0)$ और $(1, -2, -5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

बिंदु $O(\vec{0})$ की समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ से सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है?

माना $P_{1}: \vec{r} \cdot(2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) = 4$ एक समतल है। माना $P_{2}$ एक अन्य समतल है जो बिंदुओं $(2, -3, 2)$,$(2, -2, -3)$ और $(1, -4, 2)$ से होकर गुजरता है। यदि $P_{1}$ और $P_{2}$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $16, \alpha, \beta$ हैं,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह बिंदु जिस पर बिंदुओं $(2, -3, 1)$ और $(3, -4, -5)$ को जोड़ने वाली रेखा समतल $2x + y + z = 7$ को काटती है,वह है:

समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=-5$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \lambda \hat{k}$ की समतल $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}) = 13$ से दूरी $5$ इकाई है,तो $\lambda =$