समतलों vec{r} cdot(hat{i}+hat{j}+hat{k})=6 और | vedclass

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Question

(A) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{n}_

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$\vec{r} \cdot(20 \hat{i}+23 \hat{j}+26 \hat{k})=69$

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(A) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = d_1 + \lambda d_2$ द्वारा दिया जाता है।दिए गए समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ और $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=-5$ हैं।अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot [(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})] = 6 - 5\lambda$ होगा।इसे $\vec{r} \cdot [(1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}] = 6 - 5\lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि समतल बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरता है,हम $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(1) + (1+4\lambda)(1) = 6 - 5\lambda.$$1 + 2\lambda + 1 + 3\lambda + 1 + 4\lambda = 6 - 5\lambda.$$3 + 9\lambda = 6 - 5\lambda.$$14\lambda = 3 \implies \lambda = \frac{3}{14}.$$\lambda = \frac{3}{14}$ का मान समीकरण में रखने पर:$\vec{r} \cdot [(1 + 2(\frac{3}{14}))\hat{i} + (1 + 3(\frac{3}{14}))\hat{j} + (1 + 4(\frac{3}{14}))\hat{k}] = 6 - 5(\frac{3}{14}).$$\vec{r} \cdot [\frac{10}{7}\hat{i} + \frac{23}{14}\hat{j} + \frac{13}{7}\hat{k}] = \frac{84 - 15}{14}.$$\vec{r} \cdot [\frac{10}{7}\hat{i} + \frac{23}{14}\hat{j} + \frac{13}{7}\hat{k}] = \frac{69}{14}.$$14$ से गुणा करने पर,हमें $\vec{r} \cdot (20\hat{i} + 23\hat{j} + 26\hat{k}) = 69$ प्राप्त होता है।

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यदि रेखाएँ $L_1: x = -1 + s, y = 3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ और $L_2: x = \frac{t}{2}, y = 1 + t, z = 2 - t$ जहाँ $s$ और $t$ प्राचल (parameters) हैं, समतलीय (coplanar) हैं, तो $\lambda =$ ?

उस बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ रेखा $r = (i - j + k) + t(i + j + k)$ समतल $r \cdot (i + j + k) = 5$ को काटती है।

रेखा $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{2}$ और समतल $2x + 2y - z = 6$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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