समतल vec{r} = (1 + lambda - mu)hat{i} + (2 - | vedclass

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Question

(C) समतल का दिया गया समीकरण $\vec{r} = (1 + \lambda - \mu)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (3 - 2\lambda + 2\mu)\hat{k}$ है।हम इसे $\vec{r} = (\hat{i}

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$2x + z = 5$

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(C) समतल का दिया गया समीकरण $\vec{r} = (1 + \lambda - \mu)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (3 - 2\lambda + 2\mu)\hat{k}$ है।हम इसे $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 2\hat{k})$ के रूप में लिख सकते हैं।यह एक ऐसे समतल को दर्शाता है जो बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ से होकर गुजरता है और सदिशों $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{c} = -\hat{i} + 2\hat{k}$ के समानांतर है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} 	imes \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -1 & -2 \ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{k}$.समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$।$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.अतः,$\vec{r} \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = -5$,या $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$.$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x + z = 5$ हो जाता है।

समतल $\vec{r} = (1 + \lambda - \mu)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (3 - 2\lambda + 2\mu)\hat{k}$ का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

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बिंदु $a$ से गुजरने वाले और रेखा $r = b + \lambda c$ को समाहित करने वाले समतल पर मूल बिंदु से डाले गए लंब की लंबाई क्या है?

बिंदु $A(-2, 7, 5)$ से गुजरने वाले और सदिशों $\vec{b} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समांतर समतल का सदिश समीकरण है:

मूल बिंदु से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $(4, -2, 5)$ है,तो समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

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