$(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલ $2x + 3y - z - 5 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે બિંદુ $A(4, 3, 1)$ માંથી સમતલ $P: x - y + 2z + 3 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $N$ છે. જો $B(5, \alpha, \beta)$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,એ સમતલ $P$ પરનું બિંદુ હોય અને ત્રિકોણ $ABN$ નું ક્ષેત્રફળ $3\sqrt{2}$ હોય,તો $\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta$ ની કિંમત $...........$ થાય.

ધારો કે $P(3, 2, 6)$ અવકાશમાં એક બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$ પરનું બિંદુ છે. તો $\mu$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર થાય?

રેખા $r = (i - j + k) + t(i + j + k)$ એ સમતલ $r \cdot (i + j + k) = 5$ ને જે બિંદુએ મળે છે તેનો સ્થાનસદિશ શોધો.

સમતલો $x-y+z-5=0$ અને $x-3y-6=0$ ના છેદતી રેખાના દિકગુણોત્તરો શોધો.

કઈ શરત હેઠળ સીધી રેખા $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$ એ $xy$-સમતલને સમાંતર હોય?