રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}$ અને સમતલ $2x + y + z = 6$ નું છેદબિંદુ શોધો.

$R^3$ માં,સમતલો $P_1: y=0$ અને $P_2: x+z=1$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $P_3$ એ એક સમતલ છે,જે $P_1$ અને $P_2$ થી અલગ છે અને તેમના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. જો બિંદુ $(0,1,0)$ નું $P_3$ થી અંતર $1$ હોય અને બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ નું $P_3$ થી અંતર $2$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયા સંબંધો સાચા છે?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

ત્રણ રેખાઓ $L_1: \overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}, \lambda \in R$,$L_2: \overrightarrow{r} = \hat{k} + \mu \hat{j}, \mu \in R$,અને $L_3: \overrightarrow{r} = \hat{i} + \hat{j} + v\hat{k}, v \in R$ આપેલ છે. $L_2$ પરના કયા બિંદુ(ઓ) $Q$ માટે આપણે $L_1$ પર એક બિંદુ $P$ અને $L_3$ પર એક બિંદુ $R$ શોધી શકીએ જેથી $P, Q$ અને $R$ સમરેખ હોય?

ધારો કે $P(x_1, y_1, z_1)$ એ બિંદુ $Q(2, -2, 1)$ માંથી સમતલ $x - 2y + z = 1$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. જો $d$ એ બિંદુ $Q$ થી સમતલનું લંબ અંતર હોય અને $l = x_1 + y_1 + z_1$ હોય,તો $l + 3d^2$ ની કિંમત શોધો.

સમતલો $x+y+z=1$ અને $2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $X$-અક્ષને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.

એક સમતલ $E$ એ બે સમતલો $2x - 2y + z = 0$ અને $x - y + 2z = 4$ ને લંબ છે,અને તે બિંદુ $P(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. જો સમતલ $E$ નું બિંદુ $Q(a, a, 2)$ થી અંતર $3\sqrt{2}$ હોય,તો $(PQ)^2$ ની કિંમત શોધો.