$x = 2(\cos t + \sin t), y = 5(\cos t - \sin t)$ દ્વારા દર્શાવતો શાંકવ ..... છે.

એક ઉપવલયમાં,તેના નાભિઓ અને તેના મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ સમાન અંતરે આવેલા છે. જો તેના અર્ધ-ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2 \sqrt{2}$ હોય,તો તેના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શોધો.

બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો,જે દરેક વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ બંનેને સ્પર્શે છે. ધારો કે આ રેખાઓ બિંદુ $Q$ પર છેદે છે. તે ઉપવલયને ધ્યાનમાં લો જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને જેની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $OQ$ છે. જો આ ઉપવલયની ગૌણ ધરીની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $1$ છે.
$(B)$ ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{2}$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{2}$ છે.
$(C)$ રેખાઓ $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = 1$ વચ્ચે ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ છે.
$(D)$ રેખાઓ $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = 1$ વચ્ચે ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ છે.

ધારો કે $(x, y)$ એ વક્ર $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 15 = 0$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે. તો,$\min (x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5) + \max (x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5)$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલયની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અનુક્રમે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ પર છે. જો તેના નાભિલંબની લંબાઈ $4$ હોય અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ હોય,તો તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો બિંદુ $(\lambda, 3)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય,તો $\lambda = ......$