अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर किसी बाहरी बिंदु से खींचे जा सकने वाले अभिलंबों की संख्या कितनी है?

मान लीजिए $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ और $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ जहाँ $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ पर दो बिंदु हैं। यदि $(\alpha, \beta)$ $A$ और $B$ पर अतिपरवलय के अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $x^2 - 3y^2 = 1$ के संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

मान लीजिए $H_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ और $H_2:-\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$ दो अतिपरवलय हैं जिनकी नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $15 \sqrt{2}$ और $12 \sqrt{5}$ है। मान लीजिए उनकी उत्केंद्रताएँ क्रमशः $e_1=\sqrt{\frac{5}{2}}$ और $e_2$ हैं। यदि उनके अनुप्रस्थ अक्षों की लंबाई का गुणनफल $100 \sqrt{10}$ है,तो $25 e_2^2$ का मान . . . . . . है।

यदि $P(\frac{\pi}{4})$ और $Q(\frac{3 \pi}{4})$ अतिपरवलय $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ पर प्राचलिक रूप में दो बिंदु हैं,तो $P$ और $Q$ के बीच की दूरी क्या है?

मान लीजिए $H$ एक अतिपरवलय है,जिसकी नाभियाँ $(1 \pm \sqrt{2}, 0)$ हैं और उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है। तो इसके नाभिलंब की लंबाई है