$X$-अक्ष के ऊपर वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ और परवलय $y^2 = 4x$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

मूलबिंदु $O$ पर केंद्र वाले दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है और इसकी नियताएँ $x = \pm \frac{4\sqrt{6}}{3}$ हैं। मान लीजिए $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ एक अतिपरवलय है जिसकी उत्केंद्रता $E$ के अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर है, और जिसकी नाभिलंब की लंबाई $E$ के लघु अक्ष की लंबाई के बराबर है। तब $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है:

बिंदु $P(3, 4)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं,जो दीर्घवृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। $\Delta PAB$ का लंबकेंद्र ज्ञात कीजिए।

$AB$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक द्वि-कोटि (double ordinate) है,इस प्रकार कि $\Delta AOB$ (जहाँ $O$ मूलबिंदु है) एक समबाहु त्रिभुज है। तब अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ संतुष्ट करती है:

यदि $e$ और $e'$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee' = $

वक्रों $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।