बिंदु P से वृत्त x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9sin^2 | vedclass

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Question

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 0$ का केंद्र $C(-2, 3)$ है। इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - (9\sin^2\alpha

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$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$

Vedclass · Answer

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 0$ का केंद्र $C(-2, 3)$ है। इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - (9\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha)} = \sqrt{4 + 9 - 9\sin^2\alpha - 13\cos^2\alpha} = \sqrt{13 - 9\sin^2\alpha - 13\cos^2\alpha} = \sqrt{13\sin^2\alpha - 9\sin^2\alpha} = \sqrt{4\sin^2\alpha} = 2\sin\alpha$ है। माना $P(h, k)$ बिंदु है। स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\alpha$ है,इसलिए रेखा $PC$ और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\alpha$ है। समकोण त्रिभुज $	riangle PAC$ में,$\sin\alpha = \frac{AC}{PC} = \frac{r}{PC}$। अतः,$\sin\alpha = \frac{2\sin\alpha}{\sqrt{(h+2)^2 + (k-3)^2}}$। इससे $\sqrt{(h+2)^2 + (k-3)^2} = 2$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h+2)^2 + (k-3)^2 = 4$। विस्तार करने पर,$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = 4$। $h^2 + k^2 + 4h - 6k + 9 = 0$। $(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ का समीकरण $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ है।

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उस वृत्त के केंद्र का बिंदु पथ क्या है जो वृत्तों $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ और $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ को लंबकोणीय (orthogonally) काटता है?

एक बिंदु का बिंदुपथ जो इस प्रकार गति करता है कि $(0,0)$ से उसकी दूरी $x$-अक्ष से उसकी दूरी की तीन गुनी है,वह है:

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