यदि अतिपरवलय का नाभिलंब केंद्र पर समकोण बनाता | vedclass

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Question

(D) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।नाभि के निर्देशांक $(ae, 0)$ हैं और अर्ध-नाभिलंब की लंबाई $\frac{b^2}{a}$ है।ना

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$2$

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(D) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।नाभि के निर्देशांक $(ae, 0)$ हैं और अर्ध-नाभिलंब की लंबाई $\frac{b^2}{a}$ है।नाभिलंब के अंतिम बिंदु के निर्देशांक $(ae, \frac{b^2}{a})$ हैं।केंद्र $(0, 0)$ और बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ है।चूंकि नाभिलंब केंद्र पर समकोण बनाता है,इसलिए ढाल $1$ और $-1$ होनी चाहिए।अतः,$\frac{b^2}{a^2e} = 1$,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2e$।संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,हमें $a^2(e^2 - 1) = a^2e$ प्राप्त होता है।$e^2 - 1 = e \implies e^2 - e - 1 = 0$।द्विघात सूत्र $e = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ का उपयोग करने पर,चूंकि $e > 1$,इसलिए $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि अतिपरवलय का नाभिलंब केंद्र पर समकोण बनाता है,तो उसकी उत्केंद्रता क्या है?

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यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब दूसरे नाभि पर $60^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$,जो $(2, 3)$ से होकर गुजरता है।

यदि अतिपरवलय $x^2 - y^2 \sec^2 \alpha = 5$ की उत्केंद्रता,दीर्घवृत्त $x^2 \sec^2 \alpha + y^2 = 25$ की उत्केंद्रता की $\sqrt{3}$ गुनी है,तो $\alpha$ का मान है:

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