परवलय 4y^2 + 6x = 8y + 7 के शीर्ष पर स्पर्श र | vedclass

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Question

(A) दिए गए परवलय का समीकरण: $4y^2 + 6x = 8y + 7$. $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर: $4(y^2 - 2y) = -6x + 7$. दोनों पक्षों मे

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$x = 11/6$

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(A) दिए गए परवलय का समीकरण: $4y^2 + 6x = 8y + 7$. $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर: $4(y^2 - 2y) = -6x + 7$. दोनों पक्षों में $4(1)^2 = 4$ जोड़ने पर: $4(y^2 - 2y + 1) = -6x + 7 + 4$. $4(y - 1)^2 = -6x + 11$. $4$ से भाग देने पर: $(y - 1)^2 = -\frac{6}{4}(x - \frac{11}{6})$. $(y - 1)^2 = -\frac{3}{2}(x - \frac{11}{6})$. यह समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,जहाँ शीर्ष $(h, k) = (\frac{11}{6}, 1)$ है। परवलय के शीर्ष पर स्पर्श रेखा,परवलय के अक्ष के लंबवत और शीर्ष से गुजरने वाली रेखा होती है। चूँकि परवलय $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,इसका अक्ष क्षैतिज $(y = k)$ है। अतः,शीर्ष पर स्पर्श रेखा शीर्ष $(\frac{11}{6}, 1)$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इस ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = h$ अर्थात $x = \frac{11}{6}$ है।

परवलय $4y^2 + 6x = 8y + 7$ के शीर्ष पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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यदि सरल रेखा $x + y = 1$ परवलय $y^2 - y + x = 0$ को स्पर्श करती है,तो स्पर्श बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

एक परवलय के नाभिलंब का समीकरण $x+y=8$ है और शीर्ष पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x+y=12$ है। तो नाभिलंब की लंबाई है

यदि रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ और $x - y + k = 0$ परवलय $y^2 = 8x$ के सापेक्ष संयुग्मी (conjugate) हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

परवलय $y^2 = 8x$ के बिंदु $(2, 4)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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