निम्नलिखित में से किस अंतराल में $f(x) = \sin x$,$g(x) = \cos x$ की तुलना में कम तेजी से बढ़ता है?

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x), x > 0$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में सदैव एक वर्धमान फलन है।

मान लीजिए $f$ एक वास्तविक मान वाला फलन है,जो $R - \{-1, 1\}$ पर परिभाषित है और $f(x) = 3 \log_{e} \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{2}{x-1}$ द्वारा दिया गया है। तो निम्नलिखित में से किस अंतराल में फलन $f(x)$ वर्धमान है?

निम्नलिखित कथनों $S$ और $R$ पर विचार करें:
$S$: $\sin x$ और $\cos x$ दोनों $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ अंतराल में ह्रासमान (decreasing) फलन हैं।
$R$: यदि कोई अवकलनीय फलन $(a, b)$ में घटता है,तो उसका अवकलज भी $(a, b)$ में घटता है।
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $g(x)=3 f\left(\frac{x}{3}\right)+f(3-x)$ और सभी $x \in(0,3)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)>0$ है। यदि $g$,$(0, \alpha)$ में ह्रासमान (decreasing) और $(\alpha, 3)$ में वर्धमान (increasing) है,तो $8 \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x = 2\pi / 3$ पर फलन $f(x) = \sin x$ की प्रकृति क्या है?