किस वास्तविक संख्या $K$ के लिए समीकरण $2x^3 + 3x + K = 0$ के दो वास्तविक मूल अंतराल $[0, 1]$ में होंगे?

मान लीजिए कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ सतत फलन हैं जो अंतराल $(-1,2)$ पर दो बार अवकलनीय हैं। बिंदुओं $-1, 0$ और $2$ पर $f$ और $g$ के मान निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:

$x$	$x=-1, 0, 2$
$f(x)$	$3, 6, 0$
$g(x)$	$0, 1, -1$

प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $(f-3g)^{\prime \prime}$ कभी शून्य नहीं होता है। तो सही कथन है(हैं):
$(A)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ के $(-1,0) \cup (0,2)$ में ठीक तीन हल हैं
$(B)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ का $(-1,0)$ में ठीक एक हल है
$(C)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ का $(0,2)$ में ठीक एक हल है
$(D)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ के $(-1,0)$ में ठीक दो हल और $(0,2)$ में ठीक दो हल हैं

अंतराल $x \in [0, 1]$ पर फलन $f(x) = x^2(1 - x)^2$ के लिए रोले प्रमेय (Rolle's theorem) को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है...

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-2, 2)$ पर दो बार अवकलनीय सम फलन हैं,इस प्रकार कि $f(\frac{1}{4}) = 0, f(\frac{1}{2}) = 0, f(1) = 1$ और $g(\frac{3}{4}) = 0, g(1) = 2$ है। तब,$(-2, 2)$ में $f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) = 0$ के हलों की न्यूनतम संख्या क्या है?

मान लीजिए $f(x)=x^3+2x^2-x$ एक वास्तविक मान वाला फलन है। तो, $(-1,2)$ में लैग्रेंज के स्थिरांक $C$ का मान है

एक मोनिक द्विघात बहुपद $f(x)$ के लिए अंतराल $[\alpha, \alpha + 3]$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है, जहाँ $f(\alpha) = 0$ है। इसी प्रकार, $g(x) = f(x) + 2$ भी अंतराल $[\beta, 3]$ पर रोले का प्रमेय का पालन करता है, जहाँ $g(3) = 0$ है, इस प्रकार कि $c$ का मान (जहाँ $f'(c) = g'(c) = 0$) $f(x)$ और $g(x)$ दोनों के लिए समान है। तब $(f \circ g)(\alpha)$ का मान है...