मान लीजिए कि f और g अंतराल (-2, 2) पर दो बार | vedclass

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Question

(C) $h(x) = f(x)g'(x)$ को परिभाषित करें। दिया गया समीकरण $h'(x) = 0$ है।चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,$f(x) = f(-x)$। दिया गया है कि $f(\frac{1}{4}) = 0$

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$4$

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(C) $h(x) = f(x)g'(x)$ को परिभाषित करें। दिया गया समीकरण $h'(x) = 0$ है।चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,$f(x) = f(-x)$। दिया गया है कि $f(\frac{1}{4}) = 0$ और $f(\frac{1}{2}) = 0$,इसलिए $f(-\frac{1}{4}) = 0$ और $f(-\frac{1}{2}) = 0$ भी होगा। इस प्रकार,$f(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $4$ शून्य हैं,जो $\pm \frac{1}{4}$ और $\pm \frac{1}{2}$ हैं।चूंकि $g(x)$ एक सम फलन है,$g'(x)$ एक विषम फलन है। $g(\frac{3}{4}) = 0$ दिया गया है,इसलिए $g(-\frac{3}{4}) = 0$ होगा। रोले के प्रमेय के अनुसार,$g'(x)$ का $(-\frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ में कम से कम एक शून्य होना चाहिए,जो $x = 0$ है (क्योंकि $g'(x)$ विषम है)।अब,$h(x) = f(x)g'(x)$। $h(x)$ के शून्य में $\pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{2}$ ($f(x)$ से) और $0$ ($g'(x)$ से) शामिल हैं। इस प्रकार,$h(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $5$ शून्य हैं।रोले के प्रमेय के अनुसार,यदि $h(x)$ के $5$ शून्य हैं,तो $h'(x)$ के $(-1, 1)$ में कम से कम $4$ शून्य होने चाहिए। अंतराल $(-2, 2)$ होने के कारण,हलों की न्यूनतम संख्या $4$ है।

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