फलन f(x) = x(x+3)(x-2) के लिए अंतराल [-1, 4] | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन: $f(x) = x(x+3)(x-2) = x^3 + x^2 - 6x$.चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[-1, 4]$ पर सतत है और $(-1, 4)$ पर अवकलनीय है।$LMVT$ के अनुसार,कम

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$2$

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(C) दिया गया फलन: $f(x) = x(x+3)(x-2) = x^3 + x^2 - 6x$.चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[-1, 4]$ पर सतत है और $(-1, 4)$ पर अवकलनीय है।$LMVT$ के अनुसार,कम से कम एक $c \in (-1, 4)$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$।यहाँ $a = -1$ और $b = 4$ है।$f(-1) = (-1)(2)(-3) = 6$.$f(4) = (4)(7)(2) = 56$.$f'(x) = 3x^2 + 2x - 6$.अतः,$3c^2 + 2c - 6 = \frac{56 - 6}{4 - (-1)} = \frac{50}{5} = 10$.$3c^2 + 2c - 16 = 0$.द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $c = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-16)}}{6} = \frac{-2 \pm 14}{6}$.दो संभावित मान: $c_1 = 2$ और $c_2 = -\frac{8}{3}$।चूंकि $c \in (-1, 4)$,इसलिए $c = 2$ सही उत्तर है।

फलन $f(x) = x(x+3)(x-2)$ के लिए अंतराल $[-1, 4]$ में लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू होने के लिए $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

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