अंतराल $[-6, 6]$ पर फलन $f(x) = 8x^2 - 7x + 5$ पर विचार करें। $c$ का वह मान जो माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के निष्कर्ष को संतुष्ट करता है,है:

यदि $f(x)=|x-2|, x \in[0,4]$ है,तो इस फलन के लिए रोले का प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता क्योंकि

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $(1,6)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$ और $f''(x) \geq 4$ सभी $x \in (1,6)$ के लिए है,तो:

यदि समीकरण $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x = 0$,जहाँ $a_1 \neq 0$ और $n \geq 2$,का एक धनात्मक मूल $x = \alpha$ है,तो समीकरण $n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ का एक धनात्मक मूल क्या होगा?

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ है और $g(x) = a \frac{x^3}{3} + b \frac{x^2}{2} + cx$ लें।
कथन-$1$: द्विघात समीकरण का $(0, 1)$ अंतराल में कम से कम एक मूल है।
कथन-$2$: $[0, 1]$ अंतराल में फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है।

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $(1,3)$ में अवकलनीय है और सभी $x \in(1,3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। तो,