फलन f(x) = x^x (x 0) का न्यूनतम मान x के कि | vedclass

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Question

(C) माना $y = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{

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$x = e^{-1}$

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(C) माना $y = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ मिलता है।अतः,$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$ है।क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें। चूँकि $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $\ln x + 1 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\ln x = -1$,अतः $x = e^{-1}$ है।न्यूनतम मान की जाँच करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं। $x  e^{-1}$ के लिए,$\ln x > -1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} > 0$ है।चूँकि अवकलज का चिह्न $x = e^{-1}$ पर ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए फलन का न्यूनतम मान $x = e^{-1}$ पर प्राप्त होता है।

फलन $f(x) = x^x$ $(x > 0)$ का न्यूनतम मान $x$ के किस मान पर प्राप्त होता है?

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