int frac{dx}{(2sin x + cos x)^2} = | vedclass

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Question

(C) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) से $\cos x$ को बाहर निकाल सकते हैं।$I = \int \frac{

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$\frac{1}{2 + \cot x} + c$

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(C) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) से $\cos x$ को बाहर निकाल सकते हैं।$I = \int \frac{dx}{(\cos x (2	an x + 1))^2} = \int \frac{dx}{\cos^2 x (2	an x + 1)^2}$चूंकि $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$,हमारे पास है:$I = \int \frac{\sec^2 x}{(2	an x + 1)^2} dx$माना $u = 2	an x + 1$. तब $du = 2\sec^2 x dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2 x dx = \frac{du}{2}$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^{-1}}{-1} ight) + c = -\frac{1}{2u} + c$$u = 2	an x + 1$ का मान वापस रखने पर:$I = -\frac{1}{2(2	an x + 1)} + c$वैकल्पिक रूप से,प्रश्न में दी गई विधि का उपयोग करते हुए:$I = \int \frac{dx}{\sin^2 x (2 + \cot x)^2} = \int \frac{\csc^2 x}{(2 + \cot x)^2} dx$माना $t = 2 + \cot x$,तो $dt = -\csc^2 x dx$,इसलिए $\csc^2 x dx = -dt$.$I = \int \frac{-dt}{t^2} = \frac{1}{t} + c = \frac{1}{2 + \cot x} + c$.

$\int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2} = $

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यदि $\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{5 \pi}{2}$ और $\int(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}) \, dx = f(x) + c$ जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है, तो $f\left(\frac{\pi}{3}\right) - f(0) =$

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