यदि int frac{sin x cos x}{sqrt{cos^4 x - sin^ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{\cos^4 x - \sin^4 x}} dx$ है।$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$ क

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$[(4n-1)\frac{\pi}{4}, (4n+1)\frac{\pi}{4}], n=0, 1, 2, \ldots$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{\cos^4 x - \sin^4 x}} dx$ है।$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos 2x$ का उपयोग करने पर।अतः,$I = \int \frac{\frac{1}{2} \sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}} dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x (\cos 2x)^{-1/2} dx$।$t = \cos 2x$ लेने पर,$dt = -2 \sin 2x dx$,इसलिए $\sin 2x dx = -\frac{1}{2} dt$।$I = \frac{1}{2} \int -\frac{1}{2} t^{-1/2} dt = -\frac{1}{4} \cdot 2 t^{1/2} + c = -\frac{1}{2} \sqrt{\cos 2x} + c$।$-\frac{f(x)}{2} + c$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \sqrt{\cos 2x}$ प्राप्त होता है।प्रांत के लिए,$\cos 2x \geq 0$ होना चाहिए।इसका अर्थ है $2n\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x \leq 2n\pi + \frac{\pi}{2}$।$2$ से भाग देने पर,$n\pi - \frac{\pi}{4} \leq x \leq n\pi + \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।जो सामान्य रूप $[(4n-1)\frac{\pi}{4}, (4n+1)\frac{\pi}{4}]$ के अनुरूप है।

यदि $\int \frac{\sin x \cos x}{\sqrt{\cos^4 x - \sin^4 x}} dx = -\frac{f(x)}{2} + c$ है,तो $f(x)$ का प्रांत (domain) क्या है?

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