समाकलन ज्ञात कीजिए: int frac{2x+3}{sqrt{3x^2- | vedclass

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Question

(A) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$ को हल करने के लिए, अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के गुणज के रूप में व्यक्त करें। $3x^2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1} + \frac{11}{3\sqrt{6}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right) + C$

Vedclass · Answer

(A) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$ को हल करने के लिए, अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के गुणज के रूप में व्यक्त करें। $3x^2-2x+1$ का अवकलज $6x-2$ है। हम $2x+3 = \frac{1}{3}(6x-2) + \frac{11}{3}$ लिख सकते हैं। अतः, समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx = \frac{1}{3} \int \frac{6x-2}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3})}}$. पहले भाग के लिए, $u = 3x^2-2x+1$ लेने पर, $du = (6x-2)dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $\frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1}$ होता है। दूसरे भाग के लिए, पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = (x-\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$. अतः, $\frac{11}{3\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{1}{3})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{3})^2}} = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{x-1/3}{\sqrt{2}/3}\right) = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right)$. इस प्रकार, अंतिम उत्तर $\frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1} + \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right) + C$ प्राप्त होता है।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$

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