$55$ छात्रों की एक कक्षा में,$23$ छात्र गणित,$24$ भौतिकी,$19$ रसायन विज्ञान,$12$ गणित और भौतिकी,$9$ गणित और रसायन विज्ञान,$7$ भौतिकी और रसायन विज्ञान तथा $4$ छात्र तीनों विषय पढ़ते हैं। केवल एक विषय पढ़ने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $S$ धनात्मक पूर्णांकों के उन सभी क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है जो $x^2 - y^2 = 12345678$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं। तो,

$55$ छात्रों की एक कक्षा में,विभिन्न विषयों का अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या इस प्रकार है: गणित में $23$,भौतिकी में $24$,रसायन विज्ञान में $19$,गणित और भौतिकी में $12$,गणित और रसायन विज्ञान में $9$,भौतिकी और रसायन विज्ञान में $7$ और तीनों विषयों में $4$ छात्र हैं। केवल एक विषय लेने वाले छात्रों की कुल संख्या है

लीला और मदन ने अपने संगीत $CDs$ को एक साथ मिलाकर बेच दिया। उन्हें प्रत्येक $CD$ के लिए उतने ही रुपये मिले जितनी कुल $CDs$ उन्होंने बेची थीं। उन्होंने पैसों को इस प्रकार साझा किया: लीला पहले $10$ रुपये लेती है,फिर मदन $10$ रुपये लेता है और वे बारी-बारी से $10$ रुपये तब तक लेते रहते हैं जब तक कि मदन के पास $10$ रुपये से कम न बच जाएं। अंत में मदन के पास कितनी राशि बचेगी,औचित्य के साथ ज्ञात कीजिए।

एक निश्चित शहर में $25\%$ परिवारों के पास फोन है,$15\%$ के पास कार है और $65\%$ परिवारों के पास न तो फोन है और न ही कार। यदि $2000$ परिवारों के पास कार और फोन दोनों हैं,तो निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$1$. $10\%$ परिवारों के पास कार और फोन दोनों हैं।
$2$. $35\%$ परिवारों के पास या तो कार है या फोन।
$3$. शहर में $40,000$ परिवार रहते हैं।
उपरोक्त में से कौन से कथन सही हैं?

मान लीजिए $S = \{4, 6, 9\}$ और $T = \{9, 10, 11, \ldots, 1000\}$ है। यदि $A = \{a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{k} : k \in N, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k} \in S\}$ है,तो समुच्चय $T - A$ के सभी तत्वों का योग किसके बराबर है?