int frac{cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx ની કિંમત શોધો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx$.$e^x = t$ આદેશ લેતા,$e^x dx = dt$,તેથી $dx = \frac{dt}{t}$.તેથી $I = \int \frac{\cot^{-1}(t)}{t^2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2} \ln(e^{2x} + 1) - \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} - x + c$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx$.$e^x = t$ આદેશ લેતા,$e^x dx = dt$,તેથી $dx = \frac{dt}{t}$.તેથી $I = \int \frac{\cot^{-1}(t)}{t^2} dt$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \cot^{-1}(t)$ અને $dv = t^{-2} dt$ લેતા,$du = -\frac{1}{1+t^2} dt$ અને $v = -\frac{1}{t}$ મળે.$I = -\frac{\cot^{-1}(t)}{t} - \int \left(-\frac{1}{t}\right) \left(-\frac{1}{1+t^2}\right) dt = -\frac{\cot^{-1}(t)}{t} - \int \frac{1}{t(1+t^2)} dt$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત મુજબ: $\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$.તેથી,$\int \frac{1}{t(1+t^2)} dt = \int \frac{1}{t} dt - \int \frac{t}{1+t^2} dt = \ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)$.હવે $I$ માં કિંમત મૂકતા: $I = -\frac{\cot^{-1}(t)}{t} - (\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)) + C = \frac{1}{2} \ln(1+t^2) - \ln|t| - \frac{\cot^{-1}(t)}{t} + C$.$t = e^x$ હોવાથી,$\ln|t| = x$ અને $t^2 = e^{2x}$.તેથી $I = \frac{1}{2} \ln(1+e^{2x}) - x - \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} + C$.

$\int \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $I = \int \frac{x^2 \, dx}{(x \sin x + \cos x)^2} = f(x) + \tan x + c$ હોય, તો $f(x)$ શું છે?

$\int \cos \sqrt{x} \, dx = $

$\int \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) d x=$

$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int x^3 e^{x^2} dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module