intlimits_0^{frac{1}{2}} frac{1}{1 - x^2} ln | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x^2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) dx$. આદેશ લો $t = \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4} \ln^2 \left( \frac{1}{3} \right)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x^2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) dx$. આદેશ લો $t = \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) = \ln(1 + x) - \ln(1 - x)$. તેથી $dt = \left( \frac{1}{1 + x} - \frac{-1}{1 - x} \right) dx = \left( \frac{1 - x + 1 + x}{1 - x^2} \right) dx = \frac{2}{1 - x^2} dx$. આમ,$\frac{dx}{1 - x^2} = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \ln(1) = 0$. જ્યારે $x = \frac{1}{2}$,ત્યારે $t = \ln \left( \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} \right) = \ln \left( \frac{3/2}{1/2} \right) = \ln 3$. તેથી,$I = \int\limits_0^{\ln 3} t \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{\ln 3} = \frac{1}{4} \ln^2 3$. કારણ કે $\ln^2(1/3) = (\ln 1 - \ln 3)^2 = (-\ln 3)^2 = \ln^2 3$,તેથી જવાબ $\frac{1}{4} \ln^2 3$ અથવા $\frac{1}{4} \ln^2 \left( \frac{1}{3} \right)$ છે.

$\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x^2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{1}^{e} \frac{dx}{x(1+\log x)^{2}} =$

$\int_0^1 \frac{x^7}{\sqrt{1 - x^4}} dx$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi /4} \sec^7 \theta \sin^3 \theta \, d\theta = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module